Exercice (adapté de HEC 2013, 12.c) : On considère une suité réelle telle que : $$u_0=0\text{ et }\lim_{r\to+\infty}r^n\sum_{k=0}^n\frac{u_k}{k!r^k}=u_{n+1}.$$ Montrer que $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est la suite nulle.
On pose $P_n:"u_n=0"$.
Initialisation : $u_0=0$ donc $P_0$ est vraie.
Hérédité : Si $\forall k\in\{0,\dots n\},\ P_k$ est vraie alors $\forall k\in\{0,\dots n\},\ u_k=0$ et donc $\sum_{k=0}^n\frac{u_k}{k!r^k}=0$, par conséquent $u_{n+1}=\lim_{r\to+\infty}r^n\sum_{k=0}^n\frac{u_k}{k!r^k}=0$ et donc $P_{n+1}$ est vraie.
Par récurrence forte $\forall n\in\mathbb N,\ u_n=0$.
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